Qui a inventé la notation Pi (3,14), noté ∏ ?
La notation 
est due à Adrien Romain , au XVIe siècle
. Il a choisi car c’est la première lettre du mot grec « 
» ( se lit
« peripheria ») qui signifie circonférence .
est due à Adrien Romain , au XVIe siècle
. Il a choisi car c’est la première lettre du mot grec « » ( se lit
« peripheria ») qui signifie circonférence . 
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279
...
La première
définition de
est dûe à Archimède " Dans tout cercle , la proportion
de la circonférence au diamètre et la proportion de la superficie
au carré du rayon sont égales à une même constante
" .
est dûe à Archimède " Dans tout cercle , la proportion
de la circonférence au diamètre et la proportion de la superficie
au carré du rayon sont égales à une même constante
" . 
En calculant le rapport
entre le périmètre d’un cercle et son diamètre ( le périmètre étant mesuré
à l’aide d’une ficelle ).
Il s’aperçut qu’on trouvait toujours le même nombre à quelques
décimales près .
Archimède prit donc le cas du cercle de diamètre 1 ( dans
ce cas , le périmètre est égal à ) ;
il a « encadré » le cercle par deux polygones à 96 côtés , et il
a calculé le périmètre de ces deux polygones .
) ;
il a « encadré » le cercle par deux polygones à 96 côtés , et il
a calculé le périmètre de ces deux polygones .
Ainsi , vers 250 avant JC , il montre que est
compris entre 
et
.
est
compris entre et
.
Grâce à sa méthode , on a pu déterminer les décimales de .
.
En 1949 , le premier
ordinateur , l'ENIAC, calcula 2000 décimales de
en 70 heures .
en 70 heures .
Grâce à de puissants ordinateurs , Yasumasa Kanada a pu calculer
plus de 6 442 450 938 décimales de en
1995, et ce après 116 heures de calcul et 131 heures de vérification
de l'ordinateur .( le but étant de tester la capacité des
ordinateurs ) .
en
1995, et ce après 116 heures de calcul et 131 heures de vérification
de l'ordinateur .( le but étant de tester la capacité des
ordinateurs ) .
ü Méthode
d’Archimède pour calculer les décimales de :
:
Sa méthode consiste à encadrer un cercle de rayon 1 par deux
polygones réguliers inscrits et
circonscrits à ce cercle . Archimède a considéré successivement
des polygones à 6 ; 12 ;
24 ; 48
et 96 côtés ( le nombre de côtés est doublé à chaque fois
)
Nous utilisons ici la trigonométrie ; Archimède a utilisé
une méthode purement géométrique .
On
considère un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1 .
Calculons
le périmètre du polygone circonscrit au cercle.
Soit H pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.
( Pour des raisons de commodités , c’est un hexagone
qui est représenté ici ) .
Soit n le nombre de côtés du polygone ( n étant
égal à 6 ; 12 ; 24 ; 48 ou 96 côtés pour Archimède )
L’angle 
= 
radians
= radians
Le triangle AOB est isocèle en O donc l'angle
est égal à 
2 , soit 
est égal à 2 , soit
Dans le triangle HOB rectangle en H , sin
= 
, soit sin = 
= , soit sin =
Donc AB = 2 
HB
= 2 sin
HB
= 2 sin
Le périmètre du polygone inscrit au cercle est
donc égal à 2 n sin
n sin
Calculons
de même le périmètre du polygone circonscrit au cercle.
Dans le triangle HOB rectangle en H , tan
= 
,
soit tan =
= ,
soit tan =
Donc AB = 2 HB = 2 tan
HB = 2 tan
Le périmètre du polygone circonscrit au cercle
est donc égal à 2 n tan
n tan
Finalement , si on appelle P le périmètre du cercle ,
P = 2 1
= 2
1
= 2
On a donc :
2 n tan < 2 <
2 n sin , soit n sin < < n tan
n tan < 2 <
2 n sin , soit n sin < < n tan
Remarque : il faudrait encore montrer
que les suites de terme général n sin et n tan convergent bien vers en utilisant le fait que
converge
vers en + 
et
que 
sin et n tan convergent bien vers en utilisant le fait que
converge
vers en + et
que
converge vers en + .
en + .
Pour n = 96 côtés ( valeur maximale d’Archimède ) :
3,141031951< < 3,142857
< 3,142857
Pour n = 1536 côtés ( 96 2 2 2 2 ) : 3,141590463
< < 3,141597034
, et on trouve les
2 2 2 2 ) : 3,141590463
< < 3,141597034
, et on trouve les
cinq premières décimales exactes .
Les chiffres de peuvent se retrouver
en comptant le nombre de lettres dans le texte ci-dessous :
peuvent se retrouver
en comptant le nombre de lettres dans le texte ci-dessous :
« Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
3 1 4
1 5 9 2 6 5 3 5
Immortel Archimède
, artiste , ingénieux ,
8 9 7
9
Qui de ton jugement
peut priser ta valeur ?
3 2 3
8 4 6 2 5
Pour moi , ton problème eut de pareils avantages ! »
4 3
3 8 3 2 7 9
Depuis le XVIIIe siècle , les mathématiciens savent
que ne n’écrit pas à l’aide
d’une fraction .
ne n’écrit pas à l’aide
d’une fraction .
v
Les babyloniens utilisaient 3 + 1/8 comme valeur approchée
de .(
3,125 )
.(
3,125 )
v
Les Egyptiens , au XVIIe siècle avant JC , utilisaient
3 + 
comme valeur approchée de .
comme valeur approchée de .
v
En Inde , vers 380 avant JC , 3 + 
est
utilisé comme valeur approchée de .
est
utilisé comme valeur approchée de .
v
Platon trouva : 
+ 
comme valeur approchée de ,
ce qui vaut environ 3,14626
+ comme valeur approchée de ,
ce qui vaut environ 3,14626
v
En Chine , au Ve siècle , 
est
utilisé comme valeur approchée de .
est
utilisé comme valeur approchée de .
v
Viète , au XVIe siècle , a trouvé que =
2 
=
2
v
Wallis , au XVIIe
siècle a trouvé 
ou encore
=
ou encore
=
v
Leibniz , fin du XVIIe siècle , a trouvé 
v
John Machin trouva : 
;
formule la plus utilisée pour calculer les décimales de
;
formule la plus utilisée pour calculer les décimales de
v
Quelques fractions donnant une bonne approximation de :
:
La question est
la suivante : construire un carré de surface égale à
celle d'un disque de rayon fixé .
Si on prend 1
comme rayon du disque , l'aire est égale à . Il faut
donc trouver x le côté du carré tel que x² = .
. Il faut
donc trouver x le côté du carré tel que x² = .
Ce problème
a été posé vers le 5e siècle avant JC ( peut-être
par Hippocrate de Chios ) , il fallait essayer de le résoudre à
la règle et au compas . Un tel problème a fait couler beaucoup
d'encre et n'a trouvé sa solution qu'en 1880 : Lindemann a montré
que est transcendant , c'est-à-dire
que
ne s'écrit pas sous la forme d'une racine ; une
telle démonstration fait appel à la théorie des nombres
. Ce résultat prouvait bien qu'une telle construction était
impossible . En effet , si
était un nombre
algébrique , il s'écrirait sous la forme d'une racine ,
et une racine
est constructible à la règle et au compas
( une racine
carrée est constructible à la règle et au compas
en utilisant des triangles rectangles )
est transcendant , c'est-à-dire
que
ne s'écrit pas sous la forme d'une racine ; une
telle démonstration fait appel à la théorie des nombres
. Ce résultat prouvait bien qu'une telle construction était
impossible . En effet , si
était un nombre
algébrique , il s'écrirait sous la forme d'une racine ,
et une racine
est constructible à la règle et au compas
( une racine
carrée est constructible à la règle et au compas
en utilisant des triangles rectangles )
Ce problème
a laissé une trace derrière lui : l'expression " résoudre
la quadrature du cercle" est devenue synonyme de réaliser l'impossible
.
. Bon courage
!! )
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